O papel da utilidade nas apostas lucrativas

Para ganhar nas apostas desportivas, o apostador precisa de uma estratégia de apostas com um valor esperado positivo, ou seja, uma estimativa dos seus ganhos médios por aposta.

Mas quanto capital deverá arriscar por aposta para alcançar os lucros máximos? Para tal, é necessário entender o conceito de utilidade.
Continue a ler para saber mais sobre este assunto.

O valor esperado, um conceito inicialmente explorado pelos matemáticos franceses Pascal e Fermat no século XVII, ao tentarem resolver o problema de um jogo de pontos, mostra-nos quanto podemos esperar ganhar em média com uma aposta.

No entanto, não tem muito a dizer sobre quanto capital um apostador deverá arriscar na sua aposta. É aqui que entra em jogo a utilidade esperada.

Explicação do valor esperado e da utilidade esperada

O valor esperado (Expected value, EV) nas apostas pode ser calculado ao multiplicar a sua probabilidade de ganhar (p) pelo montante que poderia ganhar por aposta, e subtraindo a probabilidade de perder multiplicada pelo montante perdido por aposta.

Uma vez que a probabilidade de perder é equivalente a 1 (ou 100%) menos a probabilidade de ganhar, chegamos à seguinte simplificação:

expected-utility-betting
“o” representa as probabilidades decimais europeias disponibilizadas pelo corretor. O valor esperado é o número mais importante para qualquer apostador, pois ele indica-lhes se podem esperar ganhar ou perder dinheiro a longo prazo.

Assim que o apostador tiver descoberto o valor esperado, ele terá de decidir quanto do seu capital irá apostar. O matemático do século XVIII, Daniel Bernoulli, entendia que só os imprudentes tomavam decisões em relação a quanto arriscar com base no valor esperado objetivo sem considerar as consequências subjetivas da aposta, ou seja, a atração daquilo que se ganhará (ou perderá).

Esta atração subjetiva é conhecida como utilidade.

Utilidade sob incerteza

Temos à nossa frente dois baús. O primeiro contém 10 000 € em dinheiro. O segundo baú contém 20 000 € em dinheiro ou nada; não sabemos qual, mas cada uma das opções é igualmente provável. Pedimos-lhe agora que escolha um dos baús. Qual deles escolheria?

Este é um clássico quebra-cabeças de utilidade. Em termos matemáticos, ambos os baús têm o mesmo valor esperado, ou seja, 10 000€. Se pudesse repetir este jogo repetidamente, não faria diferença qual o baú escolhido. No entanto, neste jogo, só pode jogar uma vez. A lei dos grandes números não se aplica.

Se escolher o primeiro baú, é certo que irá ganhar 10 000€. Mas se escolher o segundo, o que receber será uma questão de sorte: se tiver sorte, ganhará 20 000€; se tiver azar, não ganhará nada. Como seria de esperar, dado os montantes de dinheiro envolvidos, a maioria das pessoas escolhe de certeza o primeiro baú.

De uma perspectiva de utilidade, a certeza de 10 000€ é seguramente muito melhor do que o risco de não receber nada. As pessoas que encontram maior utilidade nas certezas do que nos riscos com a mesma expectativa matemática estão a demonstrar aversão ao risco.

Como calcular o valor da parada ideal?

Daniel Bernoulli defendeu que o comportamento racional padrão das pessoas quando tomam decisões em situações de incerteza é a aversão ao risco. Quantificou a sua hipótese da seguinte forma: “a utilidade resultante de qualquer pequeno aumento na riqueza será inversamente proporcional à quantidade de bens previamente possuídos.”

Por outras palavras, quanto maior for a riqueza que já possui, menor utilidade perceberá ao ganhar mais. Uma tal função de utilidade é logarítmica, e mais comummente conhecida como a utilidade marginal decrescente da riqueza.

Embora a utilização do Critério de Kelly possa causar uma volatilidade significativa nos retornos, ele possibilita aos apostadores vencedores maximizar o seu saldo a longo prazo.

Uma das aplicações mais práticas da teoria de Daniel Bernoulli é um plano de gestão de dinheiro conhecido por muitos apostadores como o Critério de Kelly. Desenvolvido por John Kelly, enquanto trabalhava na AT&T’s Bell Labs em 1956, para resolver um problema relacionado com o ruído nas chamadas telefónicas de longa distância, foi rapidamente adotado pelos apostadores e investidores como uma forma de optimizar a gestão do dinheiro e o aumento do lucro.

Embora a motivação de Kelly fosse totalmente diferente da de Bernoulli, o seu critério era matematicamente equivalente à função logarítmica da utilidade.

Em termos práticos, o critério instrui um apostador a arriscar uma percentagem da sua riqueza total numa aposta que é, em simultâneo, diretamente proporcional ao valor esperado (EV) e inversamente proporcional à probabilidade de sucesso.

Recordando que EV = po – 1 (em que p é a “verdadeira” probabilidade de sucesso e o são as probabilidades decimais para a aposta), podemos calcular a percentagem da parada de Kelly (K) da seguinte forma:

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Em essência, o critério de Kelly maximiza a utilidade logarítmica esperada. Uma consequência de fazer apostas com o Critério de Kelly é uma volatilidade significativa nos retornos, uma característica que pode não servir da melhor forma a utilidade de todas as pessoas.

Além disso, a sua utilização exige estimativas precisas das “verdadeiras” probabilidades dos resultados.

Contudo, a abordagem de Kelly possibilita que os apostadores vencedores, de forma técnica, maximizem o tamanho do seu saldo a longo prazo.

Naturalmente, para o fazer, um apostador precisa de um corretor que não suspeite de estratégias específicas de gestão de dinheiro, como a de Kelly e, mais importante ainda, que não venha a restringir as apostas como uma consequência das vitórias.